Les Maths de la Musique

La musique est profondément mathématique. Chaque note que vous entendez correspond à une fréquence (vibration) mesurée en Hertz (Hz).

Comprendre ces mathématiques vous permettra de:

• Comprendre pourquoi certains accords sonnent bien ensemble
• Savoir pourquoi les guitares sont accordées comme elles le sont
• Comprendre la physique du son

Le La3 (A4) est la note de référence moderne:

440 Hz = Vibration du diapason standard

Cela signifie que la vibration de la corde produit 440 allers-retours par seconde.

Octaves et fréquences:

• La2: 220 Hz (La3 divisé par 2)
• La3: 440 Hz (référence)
• La4: 880 Hz (La3 multiplié par 2)
• La5: 1760 Hz (La3 multiplié par 4)

Règle d'or: Monter d'une octave = doubler la fréquence

Les intervalles consonants correspondent à des ratios simples:

Plus le ratio est simple, plus l'intervalle sonne "bien" à l'oreille.

Lorsqu'une corde vibre, elle produit non seulement sa note fondamentale, mais aussi une série d'harmoniques:

Harmoniques d'un La (110 Hz):

1. 110 Hz (fondamentale) - La1
2. 220 Hz (2×) - La2 (octave)
3. 330 Hz (3×) - Mi3 (quinte)
4. 440 Hz (4×) - La3 (octave)
5. 550 Hz (5×) - Do#4 (tierce majeure)
6. 660 Hz (6×) - Mi4 (quinte)

C'est pourquoi la quinte (3:2) et l'octave (2:1) sont si naturelles: elles sont les premières harmoniques après l'octave!

Problème: Les ratios parfaits ne s'enchaînent pas parfaitement sur 12 notes!

Exemple du problème:

• 12 quintes parfaites (3:2) ≠ 7 octaves parfaites (2:1)
• 3:2^12 ≈ 129.746 vs 2^7 = 128

Solution moderne: Tempérament Égal

• Diviser l'octave en 12 demi-tons égaux
• Chaque demi-tons = 2^(1/12) ≈ 1.05946...
• Ratio de quinte = 2^(7/12) ≈ 1.498 (vs 1.5 parfait)

Conséquence: Toutes les tonalités sont jouables, mais aucune n'est "parfaitement" juste.

Le nombre 12 n'est pas arbitraire! Il vient des mathématiques:

Approche 1: Approximation de 3:2

• Combien de fois pour approcher 3:2 avec des puissances de 2?
• 2^19 ≈ 3^12 (524288 ≈ 531441)
• Donc 19 octaves ≈ 12 quintes
• Simplifié: 12 demi-tons dans une octave

Approche 2: Continuum consonant

• Avec 12 notes, on a des approximations excellentes de:
  • Quinte (3:2) = 7 demi-tons
  • Quarte (4:3) = 5 demi-tons
  • Tierce (5:4) = 4 demi-tons

Moins de notes = intervalles moins précis Plus de notes = système trop complexe

L'accord standard E-A-D-G-B-E n'est pas un hasard:

Harmoniques entre cordes à vide:

• E(6) → A(5) = Quinte parfaite (ratio 3:2)
• A(5) → D(4) = Quinte parfaite (ratio 3:2)
• D(4) → G(3) = Quinte parfaite (ratio 3:2)
• G(3) → B(2) = Tierce majeure (ratio 5:4)
• B(2) → E(1) = Quarte juste (ratio 4:3)

C'est une séquence de quartes et quintes qui maximise les harmoniques naturelles entre cordes adjacentes!

Pourquoi un intervalle dissonant "grince"?

Phénomène de battement: Deux fréquences proches interfèrent et créent des pulsations.

Exemple: 440 Hz et 445 Hz

• Battent à 445 - 440 = 5 fois par seconde
• Audible comme une vibration rapide ("wah-wah-wah")

Plus le ratio est complexe, plus il y a de battements:

• Octave (2:1) = Pas de battements = consonance parfaite
• Seconde (ex: 9:8) = Beaucoup de battements = dissonance

C'est la base physique de la consonance et dissonance!